Distâncias retas

Professor Marcos E.

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Respondeu há 2 semanas

Inicialmente, ´devemos encontrar a forma geral da equação da reta $r$. A forma geral da equação de uma reta é $Ax+By+C=0$, onde $A$, $B$, e $C$ são constantes.

A equação $r:3x+4y=1$ pode ser reescrita na forma geral:

$3x+4y?1=0$

Agora, vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta para encontrar as equações das retas paralelas a $r$ e situadas a 5 unidades de distância. A fórmula da distância entre um ponto $(x^0,y^0)$ e uma reta $Ax+By+C=0$ é dada por:

distaˆncia=?Ax0+By0+C?A2+B2distaˆncia=A2+B2

??Ax0?+By0?+C??

Como queremos a distância de 5 unidades, temos:

?Ax0+By0?1?A2+B2=5A2+B2

??Ax0?+By0??1??=5

Substituindo $A=3$ e $B=4$, temos:

?3x0+4y0?1?32+42=532+42

??3x0?+4y0??1??=5

?3x0+4y0?1?9+16=59+16

??3x0?+4y0??1??=5

?3x0+4y0?1?25=525

??3x0?+4y0??1??=5

$?3x^0+4y^0?1?=5\sqrt{25}$

?

$?3x^0+4y^0?1?=25$

Agora, podemos encontrar as duas equações das retas paralelas a $r$ e situadas a 5 unidades de distância substituindo $?3x^0+4y^0?1?$ por $25$:

1. $3x+4y?1=\pm 25$
2. $3x+4y?1=?25$

Simplificando cada equação, temos:

1. $3x+4y=26$ e $3x+4y=?24$
2. $3x+4y=?24$ e $3x+4y=26$

Portanto, as retas situadas a uma distância de 5 unidades da reta $r:3x+4y=1$ são $3x+4y=26$ e $3x+4y=?24$.