A figura mostra o gráfico do polinômio P(x) = x³ +ax² + bx + c .

Olá, tudo bem?

O gráfico nos informa que o polinômio possui 3 raízes: -1, com multiplicidade 1, e 3, com multiplicidade 2 (ou seja, 3 é raiz dupla).

Se -1 é raiz, então podemos obter a seguinte equação:

P(-1) = -1 + a - b + c = 0 --> a - b + c = 1 (i)

Note que se soubermos o valor de b, podemos descobrir o valor de a + c e o problema se resolve.
Vamos calcular b usando uma Relação de Girard para um polinômio do 3º grau:

Se x1,x2, x3 são raízes do polinômio, nesse caso, temos:

x1x2 + x1x3 + x2x3 = b/1

Assim, se x1 = -1, x2 =3, x3 = 3:

-1.3 - 1.3 + 3.3 = 3 = b (ii)

Substituindo b = 3 em (i):

a - 3 + c = 1 --> a + c = 4 (iii)

Portanto, usando (ii) e (iii):

a + b + c = 3 + 4 = 7

Se alguma passagem não tiver ficado clara, me avise que tento explicar de outra maneira.

Obs.: Existem outras formas de resolver esse Problema. Por exemplo, se você estiver familiarizada com Cálculo, pode calcular a derivada de P no ponto 3 e impor que ela deve se anular lá também.
Assim, usando 2 equações para raízes e 1 equação para a raiz da derivada, obtermos um sistema de 3 equação para a, b e c.

Espero ter ajudado. Abraço!

Primeiro detalhe: Temos um polinômio do terceiro grau. Isto significa que, ele tem 3 raízes reais, já que pela observação do gráfico, notamos duas raízes reais (-1) e 3. Logo, a outra raiz também é real, pois se tivesse uma raiz complexa, o conjugado desta raiz também seria complexa, e desta forma, teríamos 4 raízes, o que é um absurdo, pois o polinômio tem grau 3! No entanto, o trecho do gráfico já apresenta as duas concavidades que o gráfico de uma função do terceiro grau, em geral, deve apresentar para a, b e c, definidos como no exercício, diferentes de zero, já que o coeficiente de x³ é igual a 1, portanto, também diferente de ZERO. Logo, podemos ter apenas DUAS situações: Ou a RAIZ x = -1 tem multiplicidade 2, ou seja, -1 representa DUAS raízes do polinômio, e portanto as 3 raízes são: r1 = -1; r2 = -1 e r3 = 3. Ou a RAIZ x = 3 tem multiplicidade 2, ou seja, 3 representa DUAS raízes do polinômio, e portanto as 3 raízes são: r1 = -1; r2 = 3 e r3 = 3. Agora, precisamos saber um resultado teórico bem importante e pouco compreendido, o qual é conhecido como o teorema da decomposição de uma equação polinomial de acordo com suas raízes. Se P(x) = 0, neste caso, como o polinômio tem grau 3 e o coeficiente de x³ =1, temos que P(x) pode ser escrito como P(x) = (x - r1)(x - r2)(x - r3) (1) sendo r1, r2, r3 as raízes deste polinômio. Desenvolvendo algebricamente a expressão (1) chegamos que os coeficientes de um polinômio P(x) em função das raízes são P(x) = x³ - (r1 + r2 + r3) x² + (r1.r2 + r1.r3 + r2.r3) x - r1.r2.r3 (2) (Observação o . significa multiplicação, não gosto dele, mas serve para simplificar, nestes casos que aparecem o x) Associando os coeficientes do resultado (2) com o polinômio do exercício P(x) = x³ + ax² + bx + c, temos que a = - (r1 + r2 + r3) => Oposto da Soma das raízes da equação polinomial b = (r1.r2 + r1.r3 + r2.r3) => Soma do Produto das raízes distintas, da equação polinomial, dois a dois c = - r1.r2.r3 => Oposto do Produto das raízes da equação polinomial NO PRIMEIRO CASO: r1 = -1; r2 = -1 e r3 = 3. Teríamos a = -1; b = -5; c = -3 Neste caso, teríamos a + b + c = -9 No entanto, não podemos ter c = -3, pois pelo gráfico c > 0, portanto a raiz -1 não tem multiplicidade 2. NO SEGUNDO CASO: r1 = -1; r2 = 3 e r3 = 3. Teríamos a = -5; b = 3; c = 9 (c > 0) Neste caso, teríamos a + b + c = 7. Portanto, a raiz 3 tem multiplicidade 2 e o polinômio P(x) é dado por P(x) = x³ - 5x² + 3x + 9 Espero ter ajudado.