Ache todos os inteiros positivos x, y tais que: y² - x(x+1)(x+2)(x+3)=1.

Olá, Camila. Tudo bem? Não sei se entendi exatamente a necessidade de x, e y serem inteiros. A resposta funciona (verifique!) mesmo se x e, portanto, y, for real (positivo). De qualquer maneira, aqui segue uma ideia para solução. É fácil ver que devem existir infinitos pares (x,y) que satisfaçam essa igualdade (você pode enxergar isso como um sistema de 1 equação, e 2 incógnicas). O que podemos fazer é dar a relação entre x e y. Isso é, dado um valor de x, qual os valores possíveis para y? E esses não são infinitos. Primeiro, desenvolva a expressão x(x+1)(x+2)(x+3), fazendo as distributivas necessárias. Isso deve resultar em x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x Assim, substituindo isso na igualdade que você forneceu: y^2 = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 (*) Agora precisamos fatorar essa expressão da direita para ver se conseguimos extrair uma raiz quadrada de ambos os lados. As passagens para fatorar são as seguintes: x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x + 1 = x^4 + 6x^3 + 2x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = x^4 + 2x^2(3x + 1) + 9x^2 + 6x + 1 = x^4 + 2x^2(3x + 1) + (3x+1)^2 Onde usamos, na última passagem, que 9x^2 + 6x + 1 = (3x+1)^2 O truque agora é notar que x^4 + 2x^2(3x + 1) + (3x+1)^2 é o trinômio quadrado perfeito de x^2 + 3x + 1 (Você pode definir z = 3x+1 e desenvolver, se estiver em dúvida). Ou seja, (x^2 + 3x + 1)^2 = x^4 + 2x^2(3x + 1) + (3x+1)^2 Logo, voltando a (*): y^2 = (x^2 + 3x + 1)^2 Como só estamos interessados em valores positivos de x e y, podemos simplesmente extrair a raiz quadrada de ambos os lados dessa expressão sem preocupações, o que nos leva a: y = x^2 + 3x + 1 = x(x + 3) + 1 Ou seja, os pares ordenados que são a solução que você procura são, em função de x (positivo): ( x(x + 3) + 1, x ) Contudo, devo acrescentar que não tenho absoluta certeza de que esse é o método mais simples para resolver esse problema. Se alguma passagem não tiver ficado clara, me avise que tentarei explicar de outra forma. Espero ter ajudado um pouco. Abraço!

Bom dia, Camila! Vamos à resolução: Primeiro, é necessário "passar" x(x+1)(x+2)(x+3) "para o outro lado". Teremos: y^2 = x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 "Abrindo", ou seja, aplicando a distributiva, temos: y^2 = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x +1 Dando uma olhada nos três primeiros termos do lado direito, podemos "lembrar" de (x^2 + 3x)^2 = x^4 + 6x^3 + 9x^2 Usando esse trinômio, a expressão fica assim: y^2 = (x^2 + 3x)^2 + 2x^2 + 6x +1 Colocando 2 em evidência no terceiro e no quarto termo, temos: y^2 = (x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) + 1 Prestando atenção, podemos perceber que esse é o trinômio quadrado perfeito de [(x^2 + 3x) + 1]^2 Ou seja, y^2 = [(x^2 + 3x) + 1]^2 Ou seja, y = (x^2 + 3x) + 1 = x^2 + 3x + 1 Colocando o x em evidência: y = x(x+3) +1. Pronto! Observação: ao tentar resolver por conta própria o problema, é importante ir tentando diversos trinômios quadrados perfeitos, sempre parando para observar como poderia montar um "grandão".