Álgebra, matriz, autovalores, autovetores,diagonalização

Question

Considere a matriz inversível P, cujas colunas são formadas pelos vetores prórpios (autovetores) da matriz A. Sendo assim, assinale a opção que apresenta uma diagonalização da matriz A.

a)P^2A

b)PAP

c)PAP^2

d)P^-1AP

e)AP^2

O gabarito é letra D, mas não sei se está certo e como chega-se a resposta.

Ronei M. · Answer

Edson, Este link consegue apresentar um pouco sobre o processo de diagonalização através da expressão mostrada na letra D da questão: https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s11-diagonalizax00e7x00e3o.html

Saul L. · Answer

Uma matriz quadrada ''A'' é considerada diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal.  Ou seja, se, por meio de uma mudança de base, ela puder ser reduzida para uma forma diagonal.  Nesse caso, a matriz pode ser decomposta no formato A = PDP^-1.  Onde ''P'' é uma matriz invertível cujos vetores de coluna são autovetores de A e D é uma matriz diagonal formada pelos autovalores de A.  agora por definição A = PDP^-1 P^-1A = P^-1PDP^-1, multiplicação pela esquerda P^-1A = (P^-1P)DP^-1 P^-1A = (I)DP^-1, matriz de identidade P^-1AP= (I)DP^-1P, Multiplicação à direita P^-1AP= (I)D(P^-1P) P^-1AP= (I)D(I), matriz de identidade  P^-1AP= D.  Pir hipótese p é invertível

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