Algebra vetorial e trigonometria

Professor Assis J.

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Para derivar as identidades trigonométricas usando álgebra vetorial, é útil usar a interpretação geométrica das funções seno e cosseno e a operação de produto vetorial.

Suponha que temos dois vetores unitários no plano, A e B, que fazem ângulos 'a' e 'b' com o eixo x, respectivamente. O ângulo entre A e B é (a - b). A projeção de A na direção de B é dada pelo produto escalar de A e B, que é |A||B|cos(a-b), ou, porque A e B são vetores unitários, simplesmente cos(a-b). Por outro lado, podemos expressar o produto escalar de A e B em termos dos ângulos 'a' e 'b' e obtemos: A.B = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b). Portanto, temos:

cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b).

De maneira similar, podemos considerar o vetor resultante de AxB, que tem magnitude |A||B|sin(a-b) = sin(a-b) e cuja direção é perpendicular ao plano formado por A e B. Esta direção é determinada pela regra da mão direita. Se o vetor A está mais perto do vetor B (ou seja, se 'a' < 'b'), então AxB aponta para fora do plano da página, e se A está mais distante de B (ou seja, 'a' > 'b'), então AxB aponta para dentro do plano da página. Isto é, o sinal de sin(a-b) é determinado pela ordem dos fatores no produto vetorial. Portanto, podemos escrever sin(a-b) = AxB. 

Agora, o produto vetorial de A e B, em termos dos ângulos 'a' e 'b', é: AxB = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b). Portanto, temos:

sin(a-b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b).

Portanto, utilizando álgebra vetorial, derivamos as identidades trigonométricas dadas.

Professor Felipe A.

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Respondeu há 1 ano

Olá, pode-se aplicar as regras da derivada, acredito que eu não tenha muita especialidade neste assunto, mas posso tentar ajudar.

e na outra expressão:

como derivada da soma é a soma das derivadas, então:

novamente, derivada do produto é igual á derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

ao olharmos para a expressão conseguimos ver termos semelhantes, então vamos agrupa-los:

como são termos semelhantes mas opostos, a soma deles é zero, então:

.

espero que eu o tenha ajudado.