Área do retângulo usando geometria analítica

Para encontrar os vértices do retângulo no espaço, primeiro precisamos encontrar as interseções entre as retas r e s. Vamos começar encontrando a equação paramétrica da reta s. Dadas as proporções entre x, y e z, podemos escrever: x/4 = (5?y)/2 = (4?z)/4 Podemos escolher um parâmetro, por exemplo, ?, e expressar as variáveis em termos desse parâmetro: x = 4? 5?y = 2? 4?z = 4? Resolvendo essas equações, obtemos: x = 4? y = 5?2? z = 4?4? Agora, vamos encontrar as interseções entre as retas r e s, igualando as respectivas coordenadas: 4 + (-2?) = 4? 5 + ? = 5 - 2? -1 + 2? = 4 - 4? Resolvendo essas equações, encontramos o valor de ?: -2? + 4 = 4? 6? = 4 ? = 2/3 Agora que temos o valor de ?, podemos substituí-lo nas equações paramétricas das retas r e s para encontrar as coordenadas dos vértices do retângulo. Para a reta r: x = 4 + (-2 * 2/3) = 4 - 4/3 = 8/3 y = 5 + (2/3) = 15/3 + 2/3 = 17/3 z = -1 + (2 * 2/3) = -1 + 4/3 = 1/3 Para a reta s: x = 4 * (2/3) = 8/3 y = 5 - 2 * (2/3) = 5 - 4/3 = 11/3 z = 4 - 4 * (2/3) = 4 - 8/3 = 4/3 Portanto, os vértices do retângulo no espaço são: A(8/3, 17/3, 1/3), B(8/3, 11/3, 4/3), C(4/3, 11/3, 4/3) e D(4/3, 17/3, 1/3). Agora, vamos calcular o comprimento dos lados do retângulo para encontrar a sua área. Lado AB: ?[(8/3 - 8/3)^2 + (17/3 - 11/3)^2 + (1/3 - 4/3)^2] = ?[(0)^2 + (6/3)^2 + (-3/3)^2] = ?[(0) + (2)^2 + (-1)^2] = ?[0 + 4 + 1] = ?5 Lado BC: ?[(8/3 - 4/3)^2 + (11/3 - 11/3)^2 + (4/3 - 4/3)^2] = ?[(4/3)^2 + (0)^2 + (0)^2] = ?[(16/9) + 0 + 0] = ?(16/9) = 4/3 Como o retângulo tem dois lados iguais, podemos considerar que AB e BC são os lados adjacentes do retângulo. Portanto, o perímetro do retângulo é 2(?5 + 4/3) = 2?5 + 8/3. Sabemos que o perímetro do retângulo é 6?5, então podemos igualar as duas expressões e resolver a equação: 2?5 + 8/3 = 6?5 Isolando ?5: 2?5 - 6?5 = -8/3 -4?5 = -8/3 ?5 = (8/3) / 4 ?5 = 2/3 Agora, vamos calcular a área do retângulo usando a fórmula da área: Área = (lado AB) * (lado BC) Área = ?5 * (4/3) Área = (4?5) / 3 Portanto, a área do retângulo é (4?5) / 3, aproximadamente igual aÁrea ? 2,68 unidades quadradas (considerando duas casas decimais).

Inicialmente é necessário encontrar os pontos de interseção das retas r e s.

Para a reta r, temos a equação paramétrica: $r:(x,y,z)=(4,5,?1)+?(?2,1,2)$

Substituindo os valores de $x$, $y$ e $z$ da reta s na equação paramétrica da reta r, podemos encontrar o valor de $?$: $x=4?2?$ $y=5+?$ $z=?1+2?$

Agora, substituímos esses valores na equação da reta s: 4?2?4=5+?2=4?(?1+2?)444?2??=25+??=44?(?1+2?)?

Resolvendo a primeira e a terceira igualdade, encontramos $?=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}$.

Agora, substituímos $?=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}$ na equação paramétrica da reta r para encontrar o ponto de interseção: $x=4?2\times \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}$ $y=5+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{3}$ $z=?1+2\times \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}$

Portanto, o primeiro vértice do retângulo é $A(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3},\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{3},\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3})$.

Agora, encontramos o segundo vértice substituindo $?=?\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}$ na equação paramétrica da reta r: $x=4?2\times (?\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3})=\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}$ $y=5?\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{3}$ $z=?1+2\times (?\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3})=?\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}$

Portanto, o segundo vértice do retângulo é $B(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3},\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{3},?\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})$.

Com os vértices $A$ e $B$, calculamos o comprimento $L$ e a largura $W$ do retângulo: L=AB=(103?103)2+(163?143)2+(13+53)2=(03)2+(23)2+(63)2=49+369=409=2103L=AB=(310??310?)2+(316??314?)2+(31?+35?)2

?=(30?)2+(32?)2+(36?)2?=94?+936??=940??=3210

??

W=BC=(163?143)2+(?53?13)2+(13?53)2=(23)2+(?63)2+(?43)2=49+369+169=569=2143W=BC=(316??314?)2+(?35??31?)2+(31??35?)2

?=(32?)2+(?36?)2+(?34?)2?=94?+936?+916??=956??=3214?

A área do retângulo é dada por $A=L\times W$: A=2103×2143=41409?10,17A=3210

??×3214??=94140

$?10,17$

Portanto, a área do retângulo é aproximadamente 10,17 unidades quadradas, com duas casas decimais.