Domínio de função composta

Bom dia

 

Se eu entendi o exercício, vc deseja calcular a função composta de 1/x sobre a própria 1/x.

 

Então fof(x) = 1/((1/x)) = x

fof(x) = x

Domínio= Números reais

Para tomar a composição f(f(x)), é necessário que o argumento esteja definido, ou seja f(x)=1/x pertença aos reais, ou seja, x está em R\{0}. Logo, f(f(x)) = x mas não para todos os reais, apenas para os reais onde f(x) está definida.

Portanto, o domínio de f(f(x)) é  R\{0}.

A função f(x) tem como domínio R\{0}, ou seja, os números reais exceto o zero, pois não existe divisão por zero. A imagem da função f(x) também compreende os reais exceto o zero, pois através dessa função, conseguimos obter como resultado qualquer número real, até muito próximo do zero, mas nunca exatamente igual a zero (procure pelo gráfico da função). Lembre-se que, se queremos formar uma função composta da forma g(f(x)), a imagem de f deve estar contida no domínio de g. Nesse caso, a função f será composta com ela mesma, pois o exercício pede f(f(x)). Como o domínio e a imagem de f são os mesmos, então essa exigência sobre domínio e imagem é atendida. Enfim, a lei de formação da composta nos dá f(f(x)) = 1/(1/x) = x. O natural é pensar que o domínio dessa função é R. Porém, como a existência da composta depende da própria f e o domínio de f não inclui o zero, então o domínio da composta também não pode incluir o zero. Portanto, f(f(x)) = x e o domínio são os reais exceto o zero. Ou, mais formalmente: f(f): R\{0} ---> R x |---> x