Dúvida em questão de exame

Professor Matheus N.

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Respondeu há 1 mês

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Representar geometricamente o conjunto e fazer o estudo topológico do mesmo. A = {(x,y) ? R²: 1-x² 0 ^ 1-y²>0}

Aqui estamos interessados em saber a região de interseção no R²:

Primeiro vamos entender o que está acontecendo em cada eixo separadamente para que depois possamos compreender a topologia. 

EIXO X

A condição 1-X² 0 delimita o valor de X no intervalo [-1,1] ou seja: -1  X 1 o que representa uma região delimitada por duas linhas verticais paralelas ao eixo $y$ a uma unidade de distância do eixo $x.$

EIXO Y

A condição 1-Y² > 0 delimita o valor de Y no intervalo (-1,1) ou seja: -1 < Y < 1 o que representa uma região delimitada por duas linhas horizontais paralelas ao eixo x a uma unidade de distância do eixo y.

Portanto, a região de interesse é um retangulo de lado 2 centrado na origem. 

E de uma forma bem sucinta podemos fazer uma rápida analise topológica levando em conta os conceitos de:
$Fronteira,\; interior,\; exterior,\; conexão,\; limitação\; e\; abertura.$

Fronteira (ou borda): A fronteira de $A$ é o retângulo que constitui os limites do conjunto.

Interior: O interior de $A$ é o interior desse retângulo.

Exterior: O exterior de $A$ é o restante do plano cartesiano que não está contido no retângulo.

Conexão: $A$ é conexo, pois é uma região contínua no plano.

Limitação: $A$ é limitado, pois está contido no retângulo de lados paralelos aos eixos $x$ e $y$.

Abertura: $A$ não é aberto, pois contém pontos de suas fronteiras, podendo assim ser um conjunto semiaberto.

Espero ter ajudado, bons estudos !!