Expressão da derivada

Question

A expressão da derivada y' para a função y=f(x) dada implicitamente pela expressão x³y+y²-4x²=13 é:  a) y'= 8x+3x²y / x³-y b) y'= 8x+3xy² / x²+2y c) y'= 8x-3x²y / x³-2y d) y'= 4x-3x²y / x³+y e) y'= 4x+3x²y / x³-2y

Fernando M. · Accepted Answer

Boa tarde Diego!  Para calcular a derivada implicita, você deve saber a regra da cadeia e lembrar que y é função de x. Lembrando que  Vamos tratar cada termo como uma função composta f(x,y) = g(x) * h(y).  Então,  df/dx = dg/dx * h(x) + dh/dx * g(x)   Como y é função de x, dh/dx = dh/dy * dy/dx = dh/dy * y'  No primeiro termo temos: f(x,y) = x³ * y, onde g(x) = x³ e h(y) = y  Assim,   d(x³ * y)/dx = d(x³)/dx * y + [d(y)/dy * dy/dx] * x³ = 3 * x² * y + 1 * y' * x³   Seguindo o pensamento para os outros termos:  2°) d(y²)/dx = 2 * y * y'  3°) d(-4x²)/dx = -8 * x  4°) d(13)/dx = 0  Então, 3*x²*y + y'*x³ + 2*y*y' - 8*x = 0  Isolando y': y' (2y + x³) = 8x - 3x²y  y' = (8x - 3x²y) / (2y + x³)   Teu enunciado está com algum sinal trocado ou mal formulado.  Qualquer coisa estou a disposição!

Danilo A. · Answer

Olá Diego,  O enunciado ficou cortado, mas pelo que posso ver, a idéia é derivar a expressão em relação a x, e calcular y' = df(x)/dx. Basta usar a regra da cadeia na expressão. Por exemplo, d(x³y)/dx = 3x²y + x³y'. Espero que ajude, qualquer coisa entra em contato comigo. Abraço!

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