Matemática reta

Professora Regiane L.

Identidade verificada

• CPF verificado
• E-mail verificado

Respondeu há 7 meses

Suponha que ela cortasse em pelo menos 3 pontos distintos. Pelo fato de eles estarem numa mesma circunferência, podemos selecionar 3 deles e criar um triângulo, com a circunferência sendo a circunferência circunscrita ao triângulo. Porém, por um lado, pela Desigualdade Triangular, o maior lado de um triângulo tem que ser menor que a soma dos outros 2. Por outro, com 3 pontos numa mesma reta, podemos calcular a distância entre as extremidades (maior lado do triângulo) e, por estarem numa mesma reta, essa distância será igual à soma das distâncias de cada uma das extermidades ao ponto que está entre elas (os outros lados do triângulo). Isso é um absurdo, pois, por um ponto de vista, o maior lado deve ser menor que os outros 2 (por formarem um triângulo); por outro, o maior lado é igual à soma dos outros 2 (pelo fato de os 3 pontos estarem numa mesma reta). Assim, uma reta pode intersectar uma circunferência em no máximo 2 pontos.

Professor Lucas T.

Identidade verificada

• CPF verificado
• E-mail verificado

Respondeu há 7 meses

Para provar que uma reta corta uma circunferência com no máximo dois pontos, você pode usar o princípio da geometria que estabelece que duas retas não paralelas (ou seja, que se cruzam) têm no máximo um ponto em comum.

Considere a circunferência com centro em O e raio r, e uma reta que a intersecta. A reta pode cortar a circunferência em três situações possíveis:

1. A reta não intersecta a circunferência em nenhum ponto.
2. A reta intersecta a circunferência em um ponto.
3. A reta intersecta a circunferência em dois pontos.

Vamos considerar a terceira situação, onde a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Suponha que esses pontos sejam A e B.

Agora, desenhe um raio da circunferência de O para A e outro raio de O para B. Esses raios são, na verdade, segmentos de reta que conectam o centro da circunferência aos pontos de interseção. Agora, você tem um triângulo OAB.

Se a reta intersecta a circunferência em três ou mais pontos, isso significa que você teria pelo menos três raios conectando o centro da circunferência a esses pontos de interseção. No entanto, isso criaria um triângulo que tem mais de um ângulo reto (ângulo entre o raio e a tangente), o que é impossível em um círculo.

Portanto, uma reta pode cortar uma circunferência com no máximo dois pontos, pois qualquer ponto adicional de interseção criaria uma situação geométrica impossível de ser formada em uma circunferência.

Professor Daniel C.

Identidade verificada

• CPF verificado
• E-mail verificado

Respondeu há 7 meses

A afirmação de que uma reta corta uma circunferência com no máximo dois pontos é uma propriedade fundamental da geometria euclidiana e pode ser provada de várias maneiras. Uma abordagem comum envolve o uso de argumentos baseados em geometria analítica ou em propriedades específicas de circunferências e retas. Aqui está uma prova usando a geometria analítica.

Prova:

Considere uma circunferência com centro $(h,k)$ e raio $r$. A equação da circunferência é dada por:

(x?h)^2+(y?k)^2=r2

A equação geral de uma reta é $y=mx+c$, onde $m$ é a inclinação e $c$ é o coeficiente linear.

Substituindo a equação da reta na equação da circunferência, obtemos:

(x?h)^2+(mx+c?k)^2=r^2

Expandindo e simplificando:

x^2?2hx+h^2+m^2x^2+c^2+k^2?2mkx?2cx=r^2

Agora, agrupe os termos x^2 e $x$:

(1+m^2)x^2+(?2h?2mk?2c)x+(h^2+k^2+c^2?r^2)=0

A equação acima é uma equação quadrática em $x$. Para que a reta e a circunferência tenham pelo menos um ponto de interseção, o discriminante dessa equação quadrática não pode ser negativo:

(?2h?2mk?2c)^2?4(1+m2)(h^2+k^2+c^2?r^2)?0

Depois de expandir e simplificar, você obterá uma expressão que está relacionada à condição de tangência, e o discriminante será um quadrado perfeito. Isso significa que a reta intersectará a circunferência em exatamente dois pontos ou será tangente a ela em um ponto (quando o discriminante for zero).

Portanto, a conclusão é que uma reta pode cortar uma circunferência em no máximo dois pontos. Se o discriminante for zero, ela tocará a circunferência em um ponto; se for positivo, ela cortará a circunferência em dois pontos distintos