Matematica:maximos e minimos

A área máxima é 12

fazendo 6 como a altura do triângulo e 8 a base e fazendo x a largura do retângulo e y sua altura,

você obtém uma relação de semelhança de triângulos:

a área do retângulo é (xy), logo

a área é um função do segundo grau e , logo possui máximo

Área_máx=12

àrea max=12

Para encontrar a área máxima do retângulo inscrito no triângulo retângulo ?ABC, basta usar a metade do produto dos catetos do triângulo, ou seja:

Área máxima = (8 cm * 6 cm) / 2 = 24 cm².

Portanto, a área máxima do retângulo inscrito é de 24 centímetros quadrados.

Para encontrar a área máxima do retângulo inscrito no triângulo retângulo ?ABC, podemos usar a semelhança de triângulos e o cálculo de derivadas. Dado o triângulo retângulo ?ABC, com catetos medindo 8 cm e 6 cm, a hipotenusa BC (ou lado oposto ao ângulo reto) pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras: \[ BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] Seja D um ponto no cateto AB, e seja E o ponto de interseção de CD com a hipotenusa BC, conforme a figura abaixo: \[ \begin{array}{cccc} & & & A \\ & & \circ & \downarrow \\ & & D & \rightarrow \\ & & \downarrow & \circ \\ & C & \rightarrow & E \\ & \uparrow & & \\ & & B & \\ \end{array} \] Os triângulos ?ACD e ?BCE são semelhantes, pois ?DAC e ?EBC são retos (pois D e E estão no mesmo lado de AC), e ?CDA e ?CEB são iguais (pois são ângulos opostos pelo vértice). Além disso, ?CAD e ?CBE são iguais (pois são complementares). Portanto, os triângulos são semelhantes pelo critério AA (ângulo - ângulo). Pela semelhança de triângulos, temos a proporção: \[ \frac{AC}{CD} = \frac{BC}{CE} \] \[ \frac{8}{CD} = \frac{10}{CE} \] \[ 8CE = 10CD \] \[ 4CE = 5CD \] \[ CE = \frac{5}{4} CD \] A área do retângulo inscrito ABCD é dada por \( A = CD \cdot CE \). Substituindo \( CE \) em termos de \( CD \): \[ A = CD \cdot \frac{5}{4} CD \] \[ A = \frac{5}{4} CD^2 \] Como \( CD \) é o lado de um quadrado inscrito em um círculo, ele é metade da hipotenusa do triângulo menor ?ACD. Pelo teorema de Pitágoras em ?ACD: \[ CD^2 + 6^2 = 8^2 \] \[ CD^2 + 36 = 64 \] \[ CD^2 = 28 \] \[ CD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \text{ cm} \] Então, a área do retângulo inscrito de área máxima é: \[ A = \frac{5}{4} \cdot (2\sqrt{7})^2 \] \[ A = \frac{5}{4} \cdot 28 \] \[ A = 35 \text{ cm}^2 \] Portanto, a área do retângulo inscrito de área máxima é 35 cm².