Sobre vetores.

Queremos encontrar um vetor que seja paralelo ao vetor (1,2). Para que dois vetores sejam paralelos, um deve ser múltiplo escalar do outro. Isso significa que a razão entre as componentes correspondentes dos vetores deve ser constante.

Vamos igualar a razão entre as componentes do vetor P(t) com a razão das componentes do vetor (1,2), ou seja, queremos que:

Simplificando a expressão, temos:

Note que o denominador no lado direito é simplificado para , pois o 2 no numerador e no denominador se cancelam, restando:

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de t que satisfazem essa condição.

Passo 1: Igualando os numeradores
A equação é válida se os numeradores forem proporcionais, ou seja, se a igualdade entre eles for mantida após simplificações. Portanto, temos que encontrar t tal que:

Passo 2: Resolvendo a equação
Agora, vamos resolver a equação quadrática:

Isso é uma equação quadrática na forma . Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de t.

Após resolver a equação quadrática, encontramos os mesmos valores para t que mencionamos anteriormente: e

Explicação dos Cálculos:
Partimos da condição de que P(t) precisa ser paralelo a (1,2), o que nos levou a estabelecer uma igualdade baseada na proporção entre as componentes dos vetores.

Ao simplificar a expressão, chegamos à necessidade de resolver a equação quadrática .

A solução dessa equação quadrática nos deu os valores de t que satisfazem a condição de paralelismo.

Portanto, para os valores de e , o vetor P(t) será paralelo ao vetor (1,2). Isso conclui nosso raciocínio e solução do problema proposto. Se houver mais dúvidas ou outra coisa que eu possa ajudar, sinta-se à vontade para perguntar!

1. Definindo o Conceito de Vetores Paralelos:

Dois vetores são considerados paralelos se, e somente se, forem colineares, ou seja, se um puder ser obtido a partir do outro por multiplicação por um escalar. Em outras palavras, se o vetor P(t) for paralelo a (1, 2), existirá um escalar k tal que:

P(t) = k * (1, 2)

2. Encontrando a Relação Escalar:

Substituindo a expressão de P(t) na equação acima, obtemos:

((1-t²)/(1+t²), 2t/(1+t²)) = k * (1, 2)

Comparando as componentes x e y dos dois lados, chegamos a:

Equação 1: (1-t²)/(1+t²) = k

Equação 2: 2t/(1+t²) = 2k

3. Resolvendo o Sistema de Equações:

Resolvendo a Equação 1 para k, encontramos:

k = (1-t²)/(1+t²)

Substituindo esse valor na Equação 2, obtemos:

2t/(1+t²) = 2 * (1-t²)/(1+t²)

Simplificando a equação, chegamos a:

t = 0

4. Interpretando o Resultado:

O valor t = 0 indica que o único vetor P(t) paralelo a (1, 2) é aquele em que t = 0. Ou seja, o vetor P(t) que buscamos é:

P(0) = ((1-0²)/(1+0²), 2*0/(1+0²)) = (1, 0)

5. Confirmando a Paralelidade:

Podemos verificar que P(0) = (1, 0) é realmente paralelo a (1, 2) observando que:

• Ambos os vetores têm a mesma direção, pois seus componentes x são iguais e seus componentes y são proporcionais.
• O vetor P(0) pode ser obtido a partir do vetor (1, 2) multiplicando por um escalar (k = 1/2).

Conclusão:

O único vetor P(t) paralelo a (1, 2) é P(0) = (1, 0).

Observações:

• O valor t = 0 representa um ponto específico na curva parametrizada por P(t). Nesse ponto, o vetor tangente à curva é paralelo ao vetor (1, 2).
• É importante lembrar que a solução t = 0 é única neste caso específico. Para outras funções vetoriais P(t), podem existir outros valores de t que geram vetores paralelos a um determinado vetor.

Para encontrar um vetor \( P(t) \) paralelo ao vetor \( (1,2) \), precisamos encontrar um valor de \( t \) que faça com que \( P(t) \) seja um múltiplo escalar de \( (1,2) \). Dado que \( P(t) = \left( \frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2} \right) \), queremos encontrar um \( t \) tal que \( P(t) \) seja paralelo a \( (1,2) \), ou seja, exista um escalar \( \lambda \) tal que \( P(t) = \lambda (1,2) \). Isso significa que cada componente de \( P(t) \) deve ser proporcional ao correspondente componente de \( (1,2) \). Assim, temos o seguinte sistema de equações: \[ \begin{cases} \frac{1-t^2}{1+t^2} = \lambda \cdot 1 \\ \frac{2t}{1+t^2} = \lambda \cdot 2 \end{cases} \] Resolvendo o sistema, obtemos: 1. Da primeira equação: \[ \frac{1-t^2}{1+t^2} = \lambda \] \[ 1 - t^2 = \lambda(1 + t^2) \] \[ 1 - t^2 = \lambda + \lambda t^2 \] \[ (1 - \lambda) + t^2 (\lambda + 1) = 0 \] 2. Da segunda equação: \[ \frac{2t}{1+t^2} = 2\lambda \] \[ 2t = 2\lambda(1 + t^2) \] \[ 2t = 2\lambda + 2\lambda t^2 \] \[ 2 - 2\lambda + 2t^2 (\lambda - 1) = 0 \] Para que \( P(t) \) seja paralelo a \( (1,2) \), ambas as equações devem ser verdadeiras simultaneamente. Portanto, precisamos resolver esse sistema de equações.