Limites por fatoração

Cálculo de limites por fatoração

a)

Resolução:

Vamos analisar a função f(x) = (x^2-9)/(x-3)

Fatorando o numerador da fração, temos: x^2 - 9 = (x-3)(x+3), de tal forma que:

f(x) = (x+3)(x-3)/(x-3)

Agora devemos perceber que é possível cortar o fator (x-3) do numerador e do denominador,
Mas lembrando que f(x) não admite x=3 (pois haverá zero no denominador). Ou seja, f(3) não existe.

Dessa forma temos: f(x) = x+3   , x≠3.

Como desenharíamos o gráfico desta função?
É a reta f(x) = x+3, porém sem o ponto correspondente a x=3, ou seja:

Podemos então, dizer que:

Não importa que a função não tenha valor em x=3, pois o que queremos saber é o limite desta função
quando x tende a 3, ou seja:

Quando x vale 2,9 quanto vale f(x) ?
Quando x vale 2,99 quanto vale f(x) ? 
Quando x vale 2,999 quanto vale f(x) ?

Colocando na calculadora,ou substituindo em x em f(x) temos que os valores admitidos para f(x) são respectivamente:

x=2,9    -> f(x)=5,9
x=2,99  -> f(x)=5,99
x=2,999-> f(x)=5,999

Por outro lado, 

Quando x vale 3,1 quanto vale f(x) ?  
Quando x vale 3,01 quanto vale f(x) ? 
Quando x vale 3,001 quanto vale f(x) ?

Colocando na calculadora,ou substituindo em x em f(x) temos que os valores admitidos para f(x) são respectivamente:

x=3,1    -> f(x)=6,1
x=3,01  -> f(x)=6,01
x=3,001-> f(x)=6,001

Faz sentido?

b)

Resolução:

Vamos analisar a função f(x) = (x^2+x-6)/(x^2-x-2)

Fatorando o numerador da fração, temos: x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)
E fatorando o denominador da fração temos: x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)
, de tal forma que:

f(x) = (x-2)(x+3)/(x-2)(x+1)

Agora devemos perceber que é possível cortar o fator (x-2) do numerador e do denominador,
Mas lembrando que f(x) não admite x=2 (pois haverá zero no denominador). Ou seja, f(2) não existe.

Dessa forma temos: f(x) = (x+3)/(x+1)   , x≠2.

Como desenharíamos o gráfico desta função?
É a hipérbole f(x) = (x+3)/(x+1), porém sem o ponto correspondente a x=2, ou seja:

Podemos então, dizer que:

Não importa que a função não tenha valor em x=2, pois o que queremos saber é o limite desta função
quando x tende a 2, ou seja:

Quando x vale 1,9 quanto vale f(x) ?
Quando x vale 1,99 quanto vale f(x) ? 
Quando x vale 1,999 quanto vale f(x) ?

Colocando na calculadora,ou substituindo em x em f(x) temos que os valores admitidos para f(x) são respectivamente:

x=1,9    -> f(x)=1.6897
x=1,99  -> f(x)=1.6689
x=1,999-> f(x)=1.6669

Por outro lado, 

Quando x vale 2,1 quanto vale f(x) ?  
Quando x vale 2,01 quanto vale f(x) ? 
Quando x vale 2,001 quanto vale f(x) ?

Colocando na calculadora,ou substituindo em x em f(x) temos que os valores admitidos para f(x) são respectivamente:

x=2,1    -> f(x)=1.6452
x=2,01  -> f(x)=1.6645
x=2,001-> f(x)=1.6664

Faz sentido?