Geometria Analítica e Vetores – Aula 1 – Operações com Matri

Matrizes

O que é uma matriz?

Designa-se por matriz uma entidade matemática ou cientifica onde a informação é organizada e distribuída numa malha de m linhas e n colunas (m e n ∈), que por sua vez formam uma tabela ou um quadro de dupla entrada.

Em regra às matrizes atribuem-se letras maiúsculas, e aos seus elementos, ou entradas, minúsculas, estando estes sempre acompanhadas por dois índices: o primeiro (i) que indica a linha a qual o elemento pertence e o segundo (j) que indica a coluna à qual o elemento pertence. Assim, o elemento  pertence à i-ésima linha e à j-ésima coluna de uma matriz A. Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de matriz do tipo m por n (ou, simplesmente, matriz m×n), no caso em que m = n, a matriz designa-se por matriz quadrada de ordem n (ou, abreviadamente, matriz de ordem n).

= (aij) mxn

m = linhas
n  = colunas
a_i,j ⇐ elemento na linha i e coluna j da matriz A

Qdo m=n diremos que A é uma matriz quadrada de ordem n.

Exemplos
1. A = (a_ij) 2×2 a_ij=(t)

| 2  3 |
| 3  4 |

2. B =
|  2  3  1 |
| -2  5  7 | _2×3

b2,3 = 7
b2,1 = -2

3. C = | 1 |
C é uma matriz 1×1
C1,1 = 1

Se A é uma matriz com só uma linha, A é chamada matriz linha e se Asó tem uma coluna, A é chamada matriz coluna.

Dadas duas matrizes A=(a_ij)_mxn e B=(b_ij)_rxs, dizemos que A=B se mxn, n=s e a_ij=b_ij, para todo i=1…, n, j=1…, m.

Soma de Matrizes

Qdo podemos somar duas matrizes?

Se A=(aij)mxn e B=(b_ij)_mxn, definimos a soma de A com B como sendo uma outra matriz C =(c_ij)_mxn, que c_ij = a_ij + b_ij.

Exemplo
1.
A =                B =
| 0    1 |        | 7 1 |
| 4   -2 |        | 3 1 |

A + B
| 0    1 | + | 7 1 | =  | 0+7     1+1 | = | 7  2 |
| 4   -2 |    | 3 1 |     | 4+3    -2+1 |    | 7 -1 |

2. A = (a_ij)_2×2 a_ij=i+j
B = (b_ij)_2×2 b_ij=i-j

A + B = (c_ij)2×2
c_ij = a_ij + b_ij
= i+j + (i-j)
= 2i

C =
| 2 4 |
| 4 4 |

O valor da soma independe da ordem que vc está somando.

Propriedades da soma matricial (A, B são matrizes mxn)

1. A + B = B + A (Conectividade)
A + B = C, C = (c_ij), c_ij = a_ij + b_ij
B + A = D, D = (d_ij), d_ij = b_ij + a_ij

2. (A + B) + C = A + (B + C) (Associatividade)

3. Existe uma Matriz especial chamada Matriz Nula, denotada 0_mxn, que satisfaz A + 0_mxn = 0_mxn + A
0mxn =
| 0 0    …  0 |
| 0 0    …  0 |
|  .  .   …   . |
|  .  .   …   . |
|  .  .   …   . |
| 0  0   …  0 |

Ex.: A =
| 1  2  7 |
| 3  1  5 |

A + 0_mxn =
| 1  2  7 | + | 0  0  0 |
| 3  1  5 | + | 0  0  0 |

=
| 1  2  7  |
| 3  1  5  |

4. Para toda matriz A = (a_ij)_mxn, existe outra matriz b = (b_ij)_mxn t. q. A + B = 0_mxn.

a_ij + b_ij = 0 => b_ij=-a_ij

Denotaremos a Matriz b por -A

Ex.: A =
| 1   2 |
| 7  -1 |

-A =
| -1  -2 |
| -7   1 |

A + (-A) =
| 0 0 | = 0_2×2
| 0 0 |

Multiplicação por Escalar

A = (a_ij)_mxn, ∝ ∈ IR
∝.A = (b_ij)_mxn, b_ij= ∝.aij

A =
| 1    3 | ∝=3: ∝A = | 2      6 |
| 7   -1 |                 | 14   -2 |

∝= -1
(-1)A
| -1   -3 | – A
| -7    1 |

∝=0
0.A
| 0 0 |
| 0 0 |

Fonte: