Questão Matemática Financeira #001

QUESTÃO MF #001

Calcule o tempo, em anos, necessário para duplicar um capital aplicado em regime de juros à taxa de 20% ao ano. Dê a resposta com aproximação de uma casa decimal.

Dados: log 2 ≅ 0,301 e log 3 ≅ 0,477.

OBS 1: Resolva sem calculadora, por isso foram dados os valores dos logaritmos.

OBS 2: Não se faz necessário dizer que os juros são compostos, pois não existe outro tipo de juros. Juros simples é uma invenção sem sentido prático, uma contradição.

RESOLUÇÃO

Capital inicial: C          Montante (= Capital inicial + Juros): M = C + J = 2C          Juros: i = 20% a.a. = 0,2 a.a.

M = C(1 + i)ⁿ     ⇒     2C = C(1 + 0,2)ⁿ     ⇒     2C = C(1,2)ⁿ     ⇒     2 = 1,2ⁿ     ⇒

⇒     log 2 = log 1,2ⁿ     ⇒     log 2 = n × log 1,2     ⇒     n = log 2 / log 1,2     ⁽¹⁾⇒

⁽¹⁾⇒     n = 0,301/0,079 = 301/79 ⁽²⁾≅ 3,8.

⁽¹⁾ log 1,2 = log (12/10) = log 12 - log 10 = log (2²×3) - 1 = log 2² + log 3 - 1 = 2 × log 2 + log 3 - 1 =

= 2 × 0,301 + 0,477 - 1 = 0,602 + 0,477 - 1 = 1,049 - 1 = 0,079.

⁽²⁾ 301/79 deixa resto 0,8, ou seja, uma excelente aproximação: 301 = 79 × 3,8 + 0,8 = 300,2 + 0,8 = 301.