Como não precisar decorar tantas identidades trigonométricas

1. Introdução

No estudo da trigonometria, há um número considerável de identidades que devemos memorizar para fazer uma prova. São expressões como

,

.

A demonstração desses resultados não é tão imediata, a menos que se utilizem números complexos. O objetivo desse artigo é demonstrar essa aplicação de números complexos, para alunos(as) que não gostem de decorar coisas, ou se der aquele branco na hora da prova.

2. Um parêntese sobre notação

Antes de tudo, vamos à notação utilizada. No ensino médio, é muito comum a notação . Além disso, os(as) alunos(as) costumam decorar que ao multiplicar números complexos, somam-se os ângulos, e que ao dividir números complexos, diminuem-se os ângulos. Nesse artigo, essa notação não será utilizada. Em vez disso, a expressão será representada pela fórmula de Euler, uma das grandes joias da Matemática:

.

Se você é aluno de ensino médio e não sabe o que é esse número , encare isso como apenas uma notação: da mesma forma que antes você escrevia isso resumidamente como , passe a representar por . Há duas vantagens nessa mudança:

1) agora você não precisa mais decorar que complexos multiplicados somam os ângulos e complexos divididos subtraem os ângulos! Isso passa a ser uma mera consequência de propriedades exponenciais:

.

2) se você for seguir uma carreira em exatas, a notação vai lhe acompanhar pelo resto da vida, enquanto será abandonada assim que você aprender Cálculo Diferencial e Integral.

3. A identidade trigonométrica mais simples

Feita essa introdução, como a fórmula de Euler nos ajuda a demonstrar rapidamente identidades trigonométricas? Vamos começar com talvez a mais famosa identidade trigonométrica:

.

Vamos multiplicar por :

,

conforme queríamos provar. Talvez você não esteja muito impressionado(a), pois essa identidade é utilizada tantas vezes que as pessoas já a memorizam quase que automaticamente. Vamos então passar outras que são menos utilizadas e costumam dar mais problemas aos estudantes.

4. Seno e cosseno da soma

Vamos agora multiplicar por :

Comparando as partes real e imaginária, conseguimos de uma vez só as fórmulas para cosseno e seno de uma soma:

Tente fazer sozinho(a) as fórmulas para cosseno e seno de uma diferença, multiplicando por .

5. Fórmulas de arco triplo

Agora vamos obter ambas as fórmulas de arco triplo de uma só vez, elevando ao cubo:

Comparando as partes real e imaginária, conseguimos de uma vez as duas fórmulas de arco triplo:

Tente fazer sozinho(a) as fórmulas de arco duplo, elevando ao quadrado.

6. Soma de senos e cossenos

Para terminar a exposição sobre desigualdades trigonométricas, considere a soma , representada geometricamente na figura abaixo.

Os ângulos do triângulo isósceles destacado adjacentes ao vetor são dados por . Portanto, o ângulo de com o eixo é

.

Além disso, traçando a altura do triângulo em relação ao vetor , vemos que ele módulo igual a . Resumindo nossas conclusões, temos

Comparando as partes real e imaginária, conseguimos de uma vez só as fórmulas para soma de cossenos e soma de senos:

7. Conclusão

Como você pôde perceber, números complexos são uma poderosa ferramenta para estudar trigonometria. E as aplicações dos números complexos não terminam por aí. Para quem for estudar Física num nível mais avançado, números complexos são uma mão na roda no estudo de rotações em 2 dimensões, na resolução de equações diferenciais (ordinárias e parciais), na análise de oscilações com fasores, e em Análise de Fourier, para citar alguns exemplos de aplicações. Em todos esses casos, números complexos são utilizados como um mero artifício de cálculo, ou seja, um atalho matemático para se chegar mais rápido à solução de um problema. Mas existe até uma área da Física em que números complexos não são apenas uma forma de fazer contas mais rápido, mas sim um aspecto fundamental da Natureza, que é a Física Quântica. Mas esses são assuntos para outros artigos...