Noções de Conjunto

INTRODUÇÃO

A noção de de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática, pois a partir dela podem ser expressos os conceitos matemáticos.Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por Exemplo:

S= { São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Espirito Santos} - É o conjunto dos estados do sudeste do Brasil. 

B: { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,....} - Conjuntos com elementos de números primos. e assim por diante.

Um conjunto é formado por elementos . Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A, logo dizemos que a pertence a A, escreve-se

Caso contrário dizemos que a não pertence a A, escreve-se

PROPRIEDADES, CONDIÇÕES E CONJUNTOS

Consideremos a propriedade p:

p:  x é um número natural impar. 

Esta propriedade pode ser expresssa da seguinte forma pelo conjunto I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,...}

Consideremos agora condição c.

c: x é um número inteiro que satisfaz a condição , pois

e

Esta condição pode ser experessa pelo conjunto A = { -2, 2} 

Neste caso , também é indiferente dizer que x   satisfaz a condição  c ou que . 

É mais simples trabalhar conjuntos do que com propriedades e condições. Além disso, podemos definir relações e operações entre conjuntos. Já com propriedades e condições isso seria muito díficil. 

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dois conjuntos são iguais quando possuem os memso elementos. Por exemplo se A = { Números Naturais Pares} e B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 12,....};  Entao ;

Se A não é igual a B, então A é diferente de B, escreve-se

CONJUNTOS VAZIO, UNITÁRIO E UNIVERSO

A notação para conjunto vazio é , sendo uma propriedade contraditória qualquer pode ser usada para definir o conjunto vazio. Exemplo

{Números naturais impares menores que 1} = { é um número natural impar menor que do que 1} =

Pois não há número natural impar menor do que 1.

Sendo assim o conjunto vazio não possui elementos, podendo ser representado também por { }.

Outro conjunto interessante é o conjunto unitário, formado por um único elemento:

Exemplo : {Números naturais pares e primo} = { é um número natural par e primo} = {2}

Porque o 2 é o unico número natural par e primo. 

Obs:  O conjunto é diferente {}, pois {} é um  conjunto unitário que tem como único elemento o conjunto vazio..

Um conjunto importante é o conjunto universo , é o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando num determinado asssunto. Fixado o universo , todos os elementos pertencem a , e todos os conjuntos são partes de ;

É importante saber em qual universo estamos trabalhando. Por exemplo, se    é o conjunto dos numeros naturais então a equação , não tem solução, porém se  é o conjunto dos números inteiros então a equação , faz sentido pois tem solução

SUBCONJUNTOS E A RELAÇÃO DE INCLUSÃO

Consideramos dois conjuntos A e B, se todos elementos de  A forem tambḿe elementos de B, dizemos que A é subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda que A é parte de B, indiciaremos esse fato por .

Pode se dizer também B A, se lê B contém A.

Se A não for subconjunto de B, escrevemos

Relação de inclusão 

A relação chama-se relação de inclusão. são casos raros de particulares de extremos de inclusão:

• , pois é claro que qualquer elemento de A pertence a A.
• A , qualquer que seja conjunto A, pois se admitissemos que , teríamos um elemento tal qual e . Mas é impossível, logo  A

A relação de inclusão possui três propriedades básicas. Dados os conjuntos A, B  e C quaisquer de um determinado , temos:

• propriedade reflexiva;
• Se e , então propriedade simétrica
• Se e , então propriedade transitiva

A propriedade anti-simétrica é sempre usada quando se quer provar que dois conjuntos são iguais, para provar que , basta provar que e,  sendo a propriedade transitiva fundamental para deduções, na lógica denomina-se SILOGISMO. 

Por Exemplo

Relação de inclusão e implicação lógica

Sabendo que uma propriedade pode ser expressa por um conjunto. Consideremos um conjunto A de um universo   e que possue propriedade p. 

E   B  o conjunto dos elementos desse mesmo universo que propriedade q. quando dizemos que:

( p implica em q).  então dizemos .

Recíproca de uma implicação lógica e equivalência. 

Dado a implicação chamamos sua reciproca a implicação , nem sempre a reciproca de uma implicação verdadeira é também verdadeira. 

Consideremos no universo dos quadriláteros, as propriedades

• p ser quadrilátero com qutro lados de mesma medida;
• q ser quadrilátero com lados opostos paralelos;

Neste caso A  é o conjunto de losangos e  B o conjunto dos paralelogramos e, portanto , logo ou seja , ser losango implicar ser paralelogramo ou ainda, se um quadrilátero é losango, então é paralelogramo. 

Mas sua recíproca é falsa , pois nem todo paralogramo é losango. 

CONJUNTO DAS PARTES

Dado o conjunto A = {a, e,i} é possível escrever todos subconjuntos  (ou todas partes) de A. Esse conjunto formado por subconjuntos de A é chamados de conjunto das partes de A indicado por P(A).Assim, temos 

P(A) = [, {a}, {e}, {i}, {a,e}, {a,i}, {e,i}, {a,e,i}]

Observe que{a}, {e}, {i}, {a,e}, {a,i}, {e,i}, {a,e,i}, por exemplo são elementos de P(A), portanto escrevemos {a} P(A), {a,e } P(A) e {a,e,i} P(A) e não {a}P(A), {a,e } P(A) e {a,e,i} P(A).

Veja P(A) eP(A).

E há uma relação entre o número de elementos de P(A) e o número de elementos de A.

• tem 0 elementos em P()= [] tem 1 elemento;
• A= [a ] tem 1 elemento e P(A)= [,{a}] tem 2 elementos;
• A= [a,b ] tem 2 elementoa e P(A)= [,{a}. {b}, {a,b}] tem 4 elementos;
• A= [a,b,c] tem 3 elementos e P(A)= [,{a},{b},{c}, {a,b}, {a,c}, {b,c} {a,b,c}] tem 8 elementos;

Lembre-se que ; ; ; .

Possível conjecturar que se A tem n elementos P(A)= , essa conjectura somente é verdadeira se puder demonstrar posteriormente.

COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO

Dado o universo = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} e o conjunto A = {1,3,5,7}, dizemos que o complementar de A em relação  é {0,2,4,6,8,9}, ou seja é o conjunto formado pelos elementos de  que não pertence a A.

 complementar de um conjunto só tem sentido quando fixamos um conjunto universo .

De modo Geral, dado um conjunto  A de um certo unerso , chama-se complementar de A em relação a   conjunto formado pelos elementos de que não pertencem a A: indica-se  ou ou .

Logo, = { e  }

Uma vez considerando o conjunto A para cada elemento x , vale uma, e somente uma das propriedades x A, as alternativas x A e x A não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, principio de não-contradição. 

Propriedades

É possível demonstrar a validade das seguintes propriedades a partir dos princípios acima:

Desse princípios acimas podemos tirar as seguintes propriedades:

1. = A para todo A (o complementar do complementar de um conjunto A é o proprio conjunto A)
2. Se A B então (se um conjunto está contido em outro, seu complementar contém o complementar dese outro)

Escrevendo de outra forma:

3 .  A B e   são equivalentes, ou seja, , veja a demonstração

Aplicando a propriedade 1 em 2 , temos

Podemos afirmar A esta'contido em B e complementar de B está contido no complementar de A são equivalentes.

CONTRA-POSITIVA

Já vimos que , se p é a propriedade que define o conjunto A e q é a propriedade que define o conjunto B, dizer que é o meso que dizer que

Vamos representar por  p' a negação de p e por q' a negação de q.  Assim dizer que um objeto x goza da propriedade p' significa afirmar que x não goza da propriedade de p.  Dessa forma, podemos escrever a equivalência. :

da seguinte maneira:

se, e somente se

ou seja,  implicação é equivalente a esta outra implicação (a negação de q  implica a negação de p)

A implicação  chama-se contra-positiva de

OPERAÇÃO COM CONJUNTOS

Diferença

Dados os conjuntos A = {0, 1,3, 6, 8, 9} e B = {1, 4, 9, 90} podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A mas que não pertence a  B.  Assim C= {0, 3, 6, 8}

O conjunto C é chamado diferença entre A  e B e é indicado por  .

De modo geral, escrevemos:

={  e }

Observe que , a diferença de é igual  complentar de   em B

Reunião ou União

Dados os conjuntos A = {0, 10, 20, 30, 50} e B {0, 30, 40, 50, 60}, podemos escrever o conjunto C  formado pelos elementos que pertencem a  A  e  B ou ambos. Assim C = {0, 10,,20, 50,40, 50, 60}

O conjunto  C  é chamado reunião ou união de A  e Bindicado por , de modo geral dois conjuntos formados por elementos de A e B:

= {  e }

Intersecção

Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, u, b} podemos escrever o conjunto C formados por elementos simultaneamentes a A e B,  ou seja elementos em comum C = {a, e, u};

O conjunto C é chamado de intersecção de A e B,  a intersecção é o conjunto formado pelos elementos que pertecem tanto em A  e B.

= {  e }

Propriedades de Reunião e Intersecção