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f(x)=??n=1(?1)nx2n+12n+1
Vejamos alguns detalhes.
f(x)=arctanx
f'(x)=11+x2=11?(?x2)
Lembre-se que a série geométrica de potências
11?x=??n=0xn
substituindoxpor?x2,
?11?(?x2)=??n=0(?x2)n=??n=0(?1)nx2n
Então,
f'(x)=??n=0(?1)nx2n
Ao integrar,
f(x)=???n=0(?1)nx2ndx
colocando o sinal integral dentro da soma,
=??n=0?(?1)nx2ndx
por regra de poder,
=??n=1(?1)nx2n+12n+1+C
Desdef(0)=arctan(0)=0,
f(0)=??n=1(?1)n(0)2n+12n+1+C=C?C=0
Por isso,
f(x)=??n=1(?1)nx2n+12n+1
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