Dúvida em combinação linear/mudança de base

Professor Guilherme C.

Identidade verificada

• CPF verificado
• E-mail verificado

Respondeu há 1 mês

Melhor resposta

Essa foi a melhor resposta, escolhida pelo autor da dúvida

Boa tarde!

O que você deve fazer nessa questão é entender que existem duas diferentes bases descrevendo um mesmo espaço, de forma que todos os vetores nele serão os mesmos, porém descritos de formas distintas. Por exemplo, para a base F se escreve  pois no problema é dito que as coordenadas deste vetor no espaço F são dadas por , sendo necessário entender que as coordenadas representam os fatores pelos quais os vetores da base foram multiplicados. Utilizando essa notação é possível escrever o mesmo vetor na base E:  .  Como o vetor é o mesmo em ambos os casos, apenas sendo descrito em termos de bases diferentes, basta igualar as duas expressões e substituir os valores de um no outro.  O problema apresenta como se escreve y em termos de x, então é mais fácil realizar essa substituição inicialmente para a alternativa (a). Realizando esses cálculos você obtém . Por meio desta expressão basta igualar os termos que possuem multiplicadores iguais . Com isso você obtém os resultados do gabarito. Para resolver a alternativa (b) basta realizar o mesmo procedimento mas escrevendo x em termos de y.

Espero ter ajudado e boa sorte com sua lista de exercícios!

Professor Fagner B.

Identidade verificada

• CPF verificado
• E-mail verificado

Respondeu há 1 mês

mamão com açúcar kkkkk tô zoando.

Cara, para maiores detalhes marca uma aula, beleza!

Em relação a sua dúvida:

o vetor v na base F é dado por:

[v]_F=y₁f₁+y₂f₂+y₃f₃

e na base E por:

[v]_E=x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃

agora, ficou mais fácil, uma vez que:

y₁=2x₁-x₂+x₃

y₂=x₁-3x₃

y₂=x₂+2x₃

substituindo em [v]_F=y₁f₁+y₂f₂+y₃f₃, obtemos:

[v]_F=(2x₁-x₂+x₃)f₁+(x₁-3x₃)f₂+(x₂+2x₃)f₃

queremos obter algo parecido com [v]_E=x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃, POR QUÊ?

(porque assim teremos uma representação de v como combinação dos vetores da Base E)

continuando 

[v]_F=(2x₁-x₂+x₃)f₁+(x₁-3x₃)f₂+(x₂+2x₃)f₃

[v]_F=2x₁f₁-x₂f₁+x₃f₁+x₁f₂-3x₃f₂+x₂f₃+2x₃f₃

vamos reagrupar essa expressão deixando x₁, x₂  e x₃ em evidência:

[v]_F=x₁(2f₁+f₂)+x₂(-f₁+f₃)+x₃(f₁-3f₂+2f₃) ahá!!!! vamos comparar isso com [v]_E=x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃

alguma semelhança? sim! sim!!

os termos em parenteses são exatamente as bases de E em função das bases de F

logo: e₁=2f₁+f₂; e₂=-f₁+f₃ e e₃=f₁-3f₂+2f₃, como queríamos demonstrar. É isso, se tem mais dúvida, marca uma aula! Fica com D'US!