Probabilidade condicional

Olá, Sara!

No exemplo existe um total de 12 bolinhas (8 brancas e 4 pretas). O número de combinações possíveis ao retirar três bolinhas da urna, sem reposição, é de: 12 * 11 * 10 = 1 320, pois há 12 bolinhas possíveis na primeira retirada; 11 bolinhas na segunda e 10 para a terceira retirada - essa ideia é chamada princípio multiplicativo da contagem e irá aparecer mais vezes aqui. (Importante: estou usando * para simbolizar multiplicação).

 

Dessas 1 320 combinações existem aquelas somente com bolinhas brancas, outras com bolinhas pretas apenas e algumas misturadas. No exercício está escrito "sabendo que pelo menos uma bola preta foi obtida após as três retiradas", ou seja, estamos falando das combinações que há 1 ou 2 ou 3 bolinhas pretas, isto significa que podemos excluir as combinações em que as três bolinhas sorteadas são brancas, faz sentido?

 

O número de combinações ao retirar três bolinhas brancas, sem reposição, é: 8 * 7 * 6 = 336 (de novo o princípio multiplicativo da contagem). Então a quantidade de combinações em que pelo menos uma bolinha das três sorteadas é preta é igual a 1 320 - 336 = 984.

 

Dessas 984 combinações, o texto questiona a quantidade que a primeira bolinha é preta. Para resumir o texto, a seguir vou abreviar BRANCA e PRETA para B e P, respectivamente. As combinações de retiradas da urna, sabendo que a primeira é preta podem ser: PPP, PPB, PBB ou PBP. Usando o princípio multiplicativo da contagem, vamos calcular a quantidade dessas combinações:

PPP: 4 * 3 * 2 = 24

PPB: 4 * 3 * 8 = 96

PBB: 4 * 8 * 7 = 224

PBP: 4 * 8 * 3 = 96

Somando 24 + 96 + 224 + 96, temos 440 combinações em que a primeira bolinha sorteada é preta.

Dessa forma, a probabilidade de a primeira bola que foi retirada ser preta sabendo que pelo menos uma bola preta foi obtida após as três retiradas é . Simplificando essa fração, ao dividir o numerador e o denominador por 8, temos (alternativa A).

 

Letra (e)

 

Total de combinações possíveis ao retirar três bolinhas da urna, sem reposição: $12\times 11\times 10=1,320$.

Dessas combinações, queremos excluir aquelas em que as três bolinhas sorteadas são brancas, pois estamos interessados em casos em que pelo menos uma bolinha preta é obtida. O número de combinações com três bolinhas brancas é $8\times 7\times 6=336$.

Portanto, o número de combinações em que pelo menos uma bolinha preta é obtida é $1,320?336=984$.

Agora, para determinar quantas dessas combinações têm a primeira bolinha preta, precisamos calcular as combinações possíveis com a primeira bolinha preta em cada caso (PPP, PPB, PBB, PBP) usando o princípio multiplicativo da contagem.

• • PPP: $4\times 3\times 2=24$
  • PPB: $4\times 3\times 8=96$
  • PBB: $4\times 8\times 7=224$
  • PBP: $4\times 8\times 3=96$
    

Somando esses resultados, temos $24+96+224+96=440$ combinações em que a primeira bolinha retirada é preta.
Portanto, a probabilidade de que a primeira bola retirada seja preta, sabendo que pelo menos uma bola preta foi obtida após as três retiradas, é 440/984=55/123.

Dessa forma, a resposta correta é a alternativa (a) 55/123.

Para resolver essa questão, vamos calcular a probabilidade de a primeira bola retirada ser preta, dado que pelo menos uma bola preta foi obtida após as três retiradas. 1. **Probabilidade de pelo menos uma bola preta após as três retiradas:** - A probabilidade de nenhuma bola preta ser retirada em três retiradas é a probabilidade de retirar apenas bolas brancas em todas as retiradas. - Probabilidade de retirar uma bola branca em uma única retirada: \( \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \) - Probabilidade de não retirar nenhuma bola preta em três retiradas: \( \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27} \) - Probabilidade de pelo menos uma bola preta ser retirada: \( 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27} \) 2. **Probabilidade de a primeira bola retirada ser preta:** - Probabilidade de retirar uma bola preta na primeira retirada: \( \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \) 3. **Probabilidade de a primeira bola ser preta, dado que pelo menos uma bola preta foi obtida:** - \( P(\text{Primeira bola preta} | \text{Pelo menos uma preta após 3 retiradas}) = \frac{P(\text{Primeira bola preta e pelo menos uma preta após 3 retiradas})}{P(\text{Pelo menos uma preta após 3 retiradas})} \) - \( P(\text{Primeira bola preta e pelo menos uma preta após 3 retiradas}) = P(\text{Primeira bola preta}) \times P(\text{Pelo menos uma preta após 3 retiradas}) \) - \( P(\text{Primeira bola preta e pelo menos uma preta após 3 retiradas}) = \frac{1}{3} \times \frac{19}{27} = \frac{19}{81} \) - \( P(\text{Primeira bola preta} | \text{Pelo menos uma preta após 3 retiradas}) = \frac{\frac{19}{81}}{\frac{19}{27}} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3} \) Portanto, a probabilidade de a primeira bola retirada ser preta, dado que pelo menos uma bola preta foi obtida após as três retiradas, é de \( \frac{1}{3} \). A resposta mais próxima é a alternativa (b) 1/2.