Um tipo de loteria, uma pessoa aposta uma quantia x em um único número. Se esse número for sorteado, a pessoa recebe de volta a quantia x que apostou e mais x de prêmio. Portanto, seu ganho é x; se o número não for sorteado, a pessoa perde o que apostou.
Paulo apostou nessa loteria 18 vezes, perdendo nas 17 primeiras e ganhando na 18ª vez. Na primeira vez ele apostou 1 centavo, na segunda apostou 2 centavos, na terceira apostou 4 centavos e assim por diante. E, em cada uma das demais vezes, apostou o dobro da quantia apostada na vez anterior. Após ter recebido o prêmio referente à 18ª aposta, o rapaz fez um balanço para saber se saiu perdendo ou ganhando nessas 18 vezes em que apostou. Se ele fez os cálculos corretos, deve ter concluído que: a) não ganhou nem perdeu.
b) saiu ganhando 1 centavo
c) saiu ganhando 10 centavos.
d) saiu perdendo 1 centavo
e) sara perdendo 1 real
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Bom dia Eva. Vamos lá:
Veja que os valores apostados formam uma Progressão Geométrica (PG) de razão q=2.
Vamos calcular o quanto ele apostou e perdeu até a 17a aposta. Vamos usar a formula da soma de uma PG.
S17 = a1 *[qn - 1] / (q - 1) = 1 * [217 - 1] / (2-1) = 131.071 centavos (dinheiro perdido).
Na 18a aposta, ele apostou a18 = 1 * (2)17 = 131.072 centavos (dinheiro ganho)
Então, vamos fazer o balanço de ganhos e perdas: 131.072 centavos (ganho) - 131.071 centavos (perda) = 1 centavo.
Ou seja, ele ganhou 1 centavo e a alternativa correta é a letra b).
Sucesso!!!!
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18 vezes, perdeu nas 17 primeiras e ganhou na 18º vez.
1 centavo -1ª vez – perdeu 1 centavo
2 centavos -2ª vez – perdeu 2 centavos
4 centavos -3ªvez – perdeu 4 centavos
.
.
.
17ª vez, será 2¹?, pois veja que na 3ª vez, ele apostou 4 centavos, que é 2². Logo, na 17ª vez, ele apostará 2¹?. E perderá 2¹?.
Pela soma de PG, temos que do 1º termo até o 17º termo, temos um total de: Sn=a1.(q^n – 1 )/q-1, onde q é a razão.
Sn = 1.(2¹?-1)/2-1 => Sn = 2¹?-1
A Décima oitava jogada é, assim como foi estabelecido pelo raciocínio anterior, ele apostará 2¹? centavos. Como ele ganhou, ele recebeu 2¹? de volta e ganhou mais 2¹?. Logo, temos 2.2¹?=2¹?.
Com isso, 2¹?-(2¹? – 1) = 2.2¹? – 2¹? + 1 = 1.2¹?+1 = 2¹? + 1
Recuperou o que perdeu e mais 1 centavo.
Basta usar a formula da soma de PG:
Sn=a1(qn-1)/(q-1)
Ele perdeu ate a 17a aposta. Entao a soma que ele perdeu foi:
S17=1(217-1)/(2-1)=131072 - 1 = 131071 centavos
Entao ele perdeu 131071 centavos
Na 18a aposta ele ganhou:
Valor ganho = 217 = 131072 centavos
Entao fazendo o balanço final:
131072 - 131071 = 1 centavos ganho
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