Resolver questao de prova

Professor Cézar A.

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Respondeu há 2 meses

Sejam "a", "b" e "c" a quantidade de notas de 10, 20 e 50 reais. Então: a + b + c = 18. Além disso: 10a + 20b + 50c = 400. Assim:

a + 2b + 5c = 40 = (a + b + c) + b + 4c = 18 + b + 4c --> b + 4c = 22 --> b = 2.(11 - 2c). Assim, b é par e b = 2(11-2c) <= 18 --> 11 - 2c <= 9 --> 2c >= 2.

Logo: c é no mínimo 1. Além disso: b = 2(11-2c) >= 0 --> c <= 11/2 = 5,5. Assim, temos que 1 <= c <= 5.

Para valor de "c", "b" automaticamente está definido por b = 2(11-2c). Além disso, como "c" e "b" estão definidos, então "a" também estará definido, pois a + b + c = 18. Assim, a quantidade de maneiras de se obter 400 reais com exatamente 18 notas equivale a achar a quantidade de valores que "c" pode assumir. Assim, temos 5 - 1 + 1 = 5 possibilidades.

Resposta: 5

Professor Fagner B.

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Respondeu há 2 meses

essa questão é do tipo que os professores amam, os alunos correm, esperneiam e xingam kkkkk

ah, além de tudo ela é capciosa (sutil para iludir)

vamos à bendita questão:

podemos utilizar notas de 10, 20 e 50 em uma quantidade que não ultrapasse 18 notas, para no total termos 400 reais.

Beleza, antes de partimos para os x e y da vida, vamos demorar um "cadim" e pensar o que a questão está querendo, ok?

poderíamos pensar que um forma seria usar 40 notas de 10, 0 notas de 20 e 0 notas de 50, assim: 40*10 + 0*20 + 0*50 = 400, SÓ QUE NÃO !!!

por quê???? Porque a questão diz que ao todo devem ser usadas apenas 18 notas e no exemplo acima usamos 40 notas de 10... aaaahh!

ok, vamos usar astúcia kkk

vamos chamar de x a quantidade de notas de 10, y a quantidade de notas de 20 e z a quantidade de notas de 50 que podemos usar.

Assim, x + y + z = 18

exemplificando, se x = 7, teremos que 10*x = 10*7 =70, 70 o que? 70 reais, pois 10 indica o valor da nota e x é quantidade de notas de 10.

O mesmo raciocínio vale para y e z, que reprensetam quantidades de notas de 20 e de 50, respectivamente.

então, podemos fazer:

10*x + 20*y + 50*z = 400, porque 400 é o total em dinheiro que queremos.

Você já ouviu falar em sistemas de equações? não? ...vou te apresentar 

x, y e z são chamados de variáveis ou incógnitas (aquilo que é desconhecido e se procura saber).

Gênios estudaram e chegaram a conclusão de que se você tem 2 equações e 3 incógnitas, o bicho pega! kkkk por que??? porque a solução fica em função de uma das incógnitas e não de um valor bem definido. Isso quer dizer que se escolher z para determinar os outros valores, ao invês de termos x = número, teremos x = número + número*variável z, o mesmo vale para y.

continuando, vamos então simplicar a equação 2

10*x + 20*y + 50*z = 400 equivale a  x + 2y + 5z = 40

o sistema fica assim 

façamos equação 2 menos a equação 1

           y + 4z = 22 equivale a y = 22 - 4z

vamos usar esse resultado na equação 1:

x + y + z = 18  equivale a x + (22 - 4z) + z = 18 equivale a x - 3z = -4 equivale a x = 3z - 4

Os valores x, y e z que solucionam o sistema: (x, y, z) = (3z - 4, 22 - 4z, z)

Então tudo isso nós fizemos para chegar nisso aí, nenhum número isoldado kkkkkkk

Acalme-se, por isso essa questão é boa, para solucionar deve-se ter um raciocínio a mais.

veja, x, y, z são quantidades de notas dos valores 10, 20 e 50, respectivamente, então podemos estabelecer condições que nós sabemos que são verdadeiras.

Nós sabemos que a quantidade de notas de cada valor pode ser zero ou maior que zero, ah!

Assim,

x >= 0, y >= 0 e z >= 0, equivale a 3z - 4 >= 0;  22 - 4z >= 0 e z >= 0

analisando 3z - 4 >= 0 equivale a 3z  >= 4 equivale a z  >= 4/3 equivale a z  >= 1.333... ou z > 1

analisando 22 - 4z >= 0 equivale a -4z  >= -22 equivale a 4z  <= 22  equivale a z  <= 5.5

a interseção das condições z >= 0; z > 1 e z  <= 5.5, nos permite escrever:

1< z <= 5.5

Não vamos esquecer que z representa QUANTIDADE DE NOTAS DE 50;

então z deve ser sempre um valor inteiro, não pode ser fração (número com número(s) depois da vírgula)

Para 1< z <= 5.5, tem-se que 

z = 2, logo x = 3z - 4 = 3*2 - 4 = 2 e y = 22 - 4z = 22 - 4*2 = 14 (maneira 1)

z = 3, logo x = 3z - 4 = 3*3 - 4 = 5 e y = 22 - 4z = 22 - 4*3 = 10 (maneira 2)

ou seja, uma vez que você usa um valor para z, encontra-se os valores de x e y para esse valor de z, isso corresponde a uma maneira  de encontrar x, y e z para satisfazer as condições da questão, em outras palavras, a quantidade de valores que você pode escolher para z corresponde a quantidade de maneiras procurada

Como 1< z <= 5.5, você só pode escolher os números: z =2; z =3; z =4 e z = 5.

Ou seja, 4 valores para z correspondem a 4 maneiras.

Gostou! ainda tá confuso? não? que bom! mas se quer mais explicações sobre este ou outro assunto de matemática ou engenharia elétrica, chama!!!! Marca um aula comigo! Obrigado e até a próxima! Fica com D'US!