Uma lâmpada está acesa no solo, a 15 m de um edifício. Um homem de 1, 80 m de altura anda a
partir da luz em direção ao edifício a 1, 2 m/s. Determine a velocidade com que o comprimento
de sua sombra, projetada sobre o edifício, diminui quando ele está a 12 m do edifício e quando
ele está a 9 m do edifício.
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Lely, boa tarde!
Calcular a velocidade de redução do comprimento da sombra do homem quando ele está a 12 m e a 9 m do edifício.
A semelhança de triângulos nos dá a relação:
Onde:
A partir da relação de semelhança, isolamos para expressá-lo em função de :
Para encontrar a taxa de mudança do comprimento da sombra () em relação ao tempo, utilizamos a regra da cadeia. Sabemos que a distância do homem ao edifício () muda com o tempo à uma taxa constante de m/s. A taxa de mudança de em relação a e depois em relação ao tempo () é dada por:
Vamos calcular essa derivada.
Substituímos e na equação e derivamos:
A derivada de em relação a se torna:
Agora, multiplicamos pela taxa de mudança de com o tempo ( m/s):
Para m:
Para m:
Conclusão
Esses resultados mostram que à medida que o homem se aproxima do edifício, a velocidade com que a sombra diminui aumenta. Isso é consistente com o entendimento intuitivo de que a sombra se "move" mais rapidamente quanto mais próximo o homem está do edifício, devido à alteração nos ângulos de projeção da luz.
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