Irracionalidade dos números

Introdução:

Um método geral para provar a irracionalidade de uma série de números (incluindo a irracionalidade de certos valores de funções trigonométricas) é baseado no seguinte teorema:

Teorema: Se a equação algébrica

cujos coeficientes são inteiros tem uma raiz racional (os números e são reciprocamente simples ou primos), então o número é um divisor do número e o número é um divisor de .

Vamos agora examinar a equação que tem a forma

cujos coeficientes são números inteiros e o maior dos coeficientes é igual a . Se esta equação tem uma raiz racional, então de acordo com o teorema acima esta raiz é um número inteiro e é um divisor do número . O número , onde e são números inteiros positivos, é irracional ou é inteiro. No último caso, o número é a potência de um inteiro.

A demonstração da irracionalidade dos números por meio do teorema formulado é realizada da seguinte forma:

1. Uma equação algébrica da menor potência natural é escrita com coeficientes expressos com números inteiros, uma das raízes desta equação é conhecida de antemão, o número , cuja irracionalidade deve ser demonstrada.
2. Encontram-se os divisores primos do primeiro coeficiente da equação obtida e do termo livre . Todos os números racionais possíveis são compostos pelos inteiros obtidos cujos numerador são o divisor do número e o denominador é o divisor do número . Então, de acordo com o teorema formulado acima, apenas esses números racionais podem ser as raízes racionais da equação dada.
3. Comparando essas raízes (potenciais) com o número dado, elas mostram que nenhum dos números racionais construídos é igual ao número , o que mostra que o número é irracional.

Exemplo 1: Mostre que o número é irracional

Solução: Suponha que . Então . Elevando ambos os membros da igualdade ao cubo, após algumas transformações descomplicadas obteremos a equação

Elevando ao quadrado os dois membros da última igualdade, após a redução dos termos iguais obteremos a equação

Do procedimento de construção da equação desta equação segue-se que o número é sua raiz. Por outro lado, as únicas raízes racionais possíveis desta equação são os números -divisores inteiros do número- , ou seja, , , , . A substituição direta desses números na equação mostra que eles não são suas raízes. Desta forma, nossa equação não possui raízes racionais e o número é irracional de antemão.