Demonstrar para a e b, números reais positivos que a²+ b²/2 >= (a + b)²/4
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a²+ b²/2 ≥ (a + b)²/4.
(a²+ b²)/2≥(a²+ b²+2ab)/4
2(a²+ b²)≥a²+ b²+2ab
a²+ b²≥2ab
a²+ b²-2ab≥0
(a-b)²≥0. Para todos a,b reais maiores ou iguais a zero. cqd.
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Não ficou muito claro se no lado esquerdo da inequação o denominador 2 deveria ser nos dois termos ou só no b. Assim sendo, segue a solução para os dois casos possíveis.
1. Supondo que o enunciado seja (a2+b2)/2 >=(a+b)2/4
Expandido o lado direito, temos (a2+b2)/2>=(a2+2ab+b2)/4
Multiplicando os dois lados por 2 e passando todos os termos para o lado esquerdo, temos:
a2/2 + b2/2 - ab >=0 e, fatorando, obtemos (a-b)2/2 >=0, que é válido para quaisquer a e b reais.
2.Supondo que o enunciado seja a2+b2/2 >=(a+b)2/4
Usando o resultado anterior, temos que a2+b2/2 >= (a2+b2)/2 >= (a+b)2/4
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