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Question

1. Prove que cada decimal periódico representa um numero racional. 2. Sendo b,c e h os catetos e altura de um triangulo retângulo , mostre : 1/h^2 = 1/b^2 + 1/c^2 3. Em um triangulo retangulo de perímetro p , a altura relativa a hipótese é h . calcule o comprimento da hipotenusa em função dos elementos dados..

Santiago C. · Answer

1. Seja o decimal periódico: N = a.r onde r representa o numeral que se repite, e vamos supor que tem ''n'' dígitos. Então, podemos escrever N como: N = (ar - r)/[(10^n) -1] como a, r e [(10^n)-1] são enteros, temos que N é uma divisão de dois números enteros, portanto N é racional.  2. Sejam b, c os catetos e ''a'' a hipotenusa do triângulo retângulo. Do teorema de Pitágoras, temos: a² = b² + c² dividimos por (b.c)² a²/(b.c)² = b²/(b.c)² + c²/(b.c)² mas é sabido que: a.h = b.c a²/(a.h)² = b²/(b.c)² + c²/(b.c)² simplificando, temos: 1/h² = 1/b² + 1/c²    3. Temos que: p = a+b+c   --->    b+c = p-a ...(1) além:    a² = b² + c²   ...(2) e a.h = b.c    --->    2.a.h = 2.b.c   ...(3) somamos (2) e (3): a² + 2.a.h = b² + c² + 2.b.c a² + 2.a.h = (b+c)² de (1): a² + 2.a.h = (p-a)² a² + 2.a.h = p²-2.p.a+a² 2.a.h+2.p.a = p² 2a(h+p) = p² e assim, o comprimento da hipotenusa é: a = p²/2(h+p)

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